Resolvendo a função de onda de pequeno e grande r r utilizando a equação schrödinger
Seu instrutor física quântica pode pedir-lhe para resolver para a função de onda para uma partícula fez-up da massa m
em um átomo de hidrogénio. Para fazer isso, você pode começar usando uma equação de Schrödinger modificado que resolve para grandes e pequenos r:
Uma vez que a equação de Schrödinger contém termos que envolvem tanto R ou r mas não ambos, a forma desta equação indica que é uma equação diferencial separável. E isso significa que você pode olhar para uma solução da forma seguinte:
Substituindo a equação anterior para o anterior dá-lhe o seguinte:
E dividindo essa equação por
da-te
Esta equação tem termos que dependem tanto
mas não ambos. Isso significa que você pode separar esta equação em dois equações, como esta (onde a energia total, E, é igual a ER + Er):
multiplicando
da-te
e multiplicando
da-te
Agora você pode resolver para r, pequenos e grandes.
Resolvendo para pequenas r
A equação de Schrödinger para
é a função de onda para uma partícula fez-se de massa m (na prática,
é muito perto de
então a energia, Er, é muito parecido com a energia do elétron). Aqui está a equação de Schrödinger para
Você pode quebrar a solução,
em uma parte radial e uma parte angular:
A parte angular da
é composta de harmónicas esféricas,
então tá tudo certo parte. Agora você tem que resolver para a parte radial, Rnl(r). Aqui está o que a equação de Schrödinger torna-se para a parte radial:
Onde
Para resolver esta equação, você dar uma olhada em dois casos - onde r é muito pequena e onde r é muito grande. Colocá-los juntos dá-lhe a forma aproximada da solução.
Resolvendo para grande r
Por muito grande r,
Porque o electrão é num estado ligado, no átomo de hidrogénio, E lt; 0- assim, a solução para a equação anterior é proporcional
Observe que
diverge como r vai para o infinito por causa da
prazo, então B deve ser igual a zero. Isso significa que
