Resolvendo a função de onda de pequeno e grande r r utilizando a equação schrödinger

Seu instrutor física quântica pode pedir-lhe para resolver para a função de onda para uma partícula fez-up da massa m

em um átomo de hidrogénio. Para fazer isso, você pode começar usando uma equação de Schrödinger modificado que resolve para grandes e pequenos r:

Uma vez que a equação de Schrödinger contém termos que envolvem tanto R ou r mas não ambos, a forma desta equação indica que é uma equação diferencial separável. E isso significa que você pode olhar para uma solução da forma seguinte:

Substituindo a equação anterior para o anterior dá-lhe o seguinte:

E dividindo essa equação por

da-te

Esta equação tem termos que dependem tanto

mas não ambos. Isso significa que você pode separar esta equação em dois equações, como esta (onde a energia total, E, é igual a ER + Er):

multiplicando

da-te

e multiplicando

da-te

Agora você pode resolver para r, pequenos e grandes.

Resolvendo para pequenas r

A equação de Schrödinger para

é a função de onda para uma partícula fez-se de massa m (na prática,



é muito perto de

então a energia, Er, é muito parecido com a energia do elétron). Aqui está a equação de Schrödinger para

Você pode quebrar a solução,

em uma parte radial e uma parte angular:

A parte angular da

é composta de harmónicas esféricas,

então tá tudo certo parte. Agora você tem que resolver para a parte radial, Rnl(r). Aqui está o que a equação de Schrödinger torna-se para a parte radial:

Onde

Para resolver esta equação, você dar uma olhada em dois casos - onde r é muito pequena e onde r é muito grande. Colocá-los juntos dá-lhe a forma aproximada da solução.

Resolvendo para grande r

Por muito grande r,

Porque o electrão é num estado ligado, no átomo de hidrogénio, E lt; 0- assim, a solução para a equação anterior é proporcional

Observe que

diverge como r vai para o infinito por causa da

prazo, então B deve ser igual a zero. Isso significa que


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