Como adicionar dependência do tempo e obter uma equação física para tridimensionais problemas partícula livre
Em algum momento, seu instrutor física quântica pode querer que você adicione a dependência tempo e obter uma equação física para um problema partícula livre tridimensional. Você pode adicionar a dependência tempo para a solução de
se você se lembrar de que, para uma partícula livre,
Essa equação dá-lhe este formulário para
Porque
a equação se transforma em
Na verdade, agora que o lado direito da equação é em termos do raio vetor r, você pode fazer o jogo do lado esquerdo:
Essa é a solução para a equação de Schrödinger, mas é não físico. Por quê? Tentando normalizar esta equação em três dimensões, por exemplo, dá-lhe o seguinte, onde A é uma constante:
(Lembre-se que o símbolo asterisco
Assim, os diverge integrais e você não pode normalizar
como está escrito aqui. Então, o que você faz aqui para obter uma partícula física?
A chave para resolver este problema é perceber que, se você tem uma série de soluções para a equação de Schrödinger, então qualquer combinação linear dessas soluções é também uma solução. Em outras palavras, você adicionar várias funções de onda em conjunto para que você obtenha um pacote de ondas, que é uma colecção de funções de onda da forma de
de tal modo que
As funções de onda interferir construtivamente em um local.
Eles interferem destrutivamente (ir para zero) em todos os outros locais.
Olhe para a versão independente do tempo:
No entanto, para uma partícula livre, os estados de energia não são separados em bands- distinta as possíveis energias são contínuas, para que as pessoas escrever este somatório como um integrante:
Então, o que é
É o análogo tridimensional
Video: Foco e diretriz de uma parábola 1
Ou seja, é a amplitude de cada função de onda componente. Você pode encontrar
a partir da transformação de Fourier
como isso:
Video: Exercício sobre Parábola (Geral)
Na prática, você escolhe
você mesmo. Olhar um exemplo, usando o seguinte formulário para
que é para um pacote de ondas Gaussian (Nota: A parte exponencial é o que torna esta uma forma de onda Gaussian):
Onde uma e A são constantes. Você pode começar pela normalização
para determinar o que A é. Aqui está como isso funciona:
OK. Realizando a integral dá-lhe
o que significa que a função de onda é
Você pode avaliar esta equação para dar-lhe o seguinte, que é o que a função de onda independente do tempo de um pacote de ondas Gaussian parece em 3D:
