Como simplificar e dividir a equação de Schrödinger para o hidrogênio

Na física quântica, pode ser necessário simplificar e dividir a equação de Schrödinger para o hidrogênio. Aqui é a equação da mecânica quântica habitual Schrödinger para o átomo de hidrogênio:

O problema é que você está tendo em conta a distância que o próton é do centro de massa do átomo, de modo a matemática é confuso. Se você tivesse que assumir que o próton é estacionário e que r_p = 0, esta equação iria quebrar para o seguinte, que é muito mais fácil de resolver:

Infelizmente, essa equação não é exato porque ignora o movimento do próton, para que você veja a versão mais-completo da equação nos textos mecânica quântica.

Para simplificar a equação de Schrödinger de costume, você alternar para coordenadas de centro-de-massa. O centro de massa do sistema de próton / elétron é neste local:

E o vector entre o elétron eo próton é

r = r_e - r_p

usando vetores R e r ao invés de r_e e r_p faz com que a equação de Schrödinger mais fácil de resolver. O Laplacian para R é

E o Laplacian para r é

Como você pode se relacionar

a da equação de costume

Após a álgebra se instala, você começa

em que M = m_e + m_p é a massa total e

é chamado de massa reduzida. Quando você junta as equações para o centro de massa, o vector entre o próton eo elétron, a massa total e, m, então a equação de Schrödinger independente do tempo torna-se o seguinte:

Então, dados os vetores, R e r, o potencial é dado por,

A equação de Schrödinger, em seguida, torna-se

Isso parece mais fácil - a melhoria principal é que você tem agora |r| no denominador do potencial termo de energia, em vez de |r_e - r_p|.

Uma vez que a equação contém termos que envolvem tanto R ou r mas não ambos, a forma desta equação indica que é uma equação diferencial separável. E isso significa que você pode olhar para uma solução da forma seguinte: