Utilizando o método de shell para encontrar o volume de um sólido de revolução

O método de shell é útil quando você está medindo um volume de revolução em torno do y

-eixo. Por exemplo, suponha que você quer medir o volume do sólido mostrado nesta figura.

Veja como o método de shell pode dar-lhe uma solução:

Video: (p360 Ex20) Volume de sólido de revolução (discos): y=x³, y=0 e x=2 em torno de Ox

1. Encontrar uma expressão que representa a área de uma concha aleatória do sólido (em termos de X).

   Lembrar que cada reservatório é um rectângulo com dois lados diferentes: Um lado é a altura da função em X - isto é, cos X. A outra é a circunferência do sólido em X - isto é, 2πx. Então, para encontrar a área de um shell, multiplicar esses dois números juntos:

   UMA = 2πX cos X

2. Use esta expressão para construir uma integral definida (em termos de dx) Que representa o volume do sólido.

   
   
   
   

   Neste caso, lembre-se que você está adicionando-se todas as conchas do centro (pelo X = 0) para a borda externa

   

3. Avaliar a integral.

   Video: Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 48 - Volumes por Cascas Cilíndricas - parte 1

   Esta integral é muito fácil de resolver usando a integração por partes:

   

   Agora avaliar esta expressão:

   

   Assim, o volume do sólido é cerca de 0,5708 unidades cúbicas.