Como encontrar o limite de uma função algebricamente

Quando seu professor de pré-cálculo pede-lhe para encontrar o limite de uma função algebricamente, você tem quatro técnicas para escolher: ligar o X

valor, factoring, racionalizando o numerador, e encontrar o menor denominador comum.

O melhor lugar para começar é a primeira técnica. Você só pode usar esta técnica se a função é contínua no X valor em que você está tomando o limite. Se a função é indefinido neste X valor, você deve passar para as outras técnicas para simplificar a sua função de modo que você pode conectar o valor aproximado para x.

Encontrar o limite ligando o X valor

A primeira técnica para algebricamente resolvendo para um limite é ligar o número que X é aproximar-se para a função. Se você receber um valor indefinido (0 no denominador), você deve passar para uma outra técnica. Mas se a sua função é contínua em que X valor, você vai ter um valor, e você é feito- você encontrou o seu limite! Por exemplo, com este método, você pode encontrar este limite:

O limite é de 3, porque f(5) = 3 e esta função é contínua em X = 5.

Encontre o limite de factoring

factoring é o método para tentar ligar quando falhar - especialmente quando qualquer parte da função dada é uma expressão polinomial.

Digamos que você está convidado a encontrar esse limite:

Você primeiro tente ligar 4 para a função, e você começa 0 no numerador e o denominador, o que você diz para passar para a próxima técnica. A expressão quadrática no numerador grita para que você tente factoring-lo. Notar que o numerador da função dos factores anteriores para (X - 4) (X - 2). o X - 4 cancela na parte superior e a parte inferior da fracção. Este passo deixa você com f(X) = X - 2. Você pode conectar 4 a esta função contínua para obter 2.

Se você gráfico esta função, parece que a linha reta f(X) = X - 2, mas tem um buraco quando X = 4, porque a função original ainda é indefinido lá (porque cria 0 no denominador). A figura ilustra este.

Se, depois de ter consignado parte superior e inferior da fração, um termo no denominador não cancelar e o valor que você está procurando é indefinido, o limite da função em que o valor de X não existe (que você pode escrever como DNE).

Por exemplo, esta função factores como mostrado:

O (X - 7) na parte superior e na parte inferior cancelar. Então, se você for solicitado para encontrar o limite da função como X se aproxima de 7, você pode ligar 7 para a versão cancelada e obter 11/8. Mas se você está tentando encontrar

o DNE limite, porque você deseja obter 0 no denominador. Esta função, portanto, tem um limite em qualquer lugar exceto como X abordagens -1.

Encontrar o limite racionalizando o numerador

A terceira técnica que você precisa saber para encontrar limites algebricamente requer que você racionalizar o numerador. Funções que exigem este método tem uma raiz quadrada no numerador e uma expressão polinomial no denominador. Por exemplo, digamos que você está convidado a encontrar o limite desta função como X se aproxima de 13:

Obstrução em números falhar quando você começa 0 no denominador da fração. Factoring falha porque a equação não tem polinomial de levar. Nesta situação, se você multiplicar o numerador eo denominador pelo conjugado do numerador, o termo no denominador que era um problema anula, e você vai ser capaz de encontrar o limite:

Video: Cálculo 1 - Limites - Exercícios Exemplos resolvidos indeterminação 0/0 [parte 1]

1. Multiplicar a parte superior e inferior da fracção pelo conjugado.

   O conjugado do numerador é

   

   Multiplicando por meio, você tem essa configuração:

   

   
   
   
   

   Foil o numerador para obter

   

   o que simplifica a X - 13 (o meio dois termos cancelar e você combinar como termos da FOLHA).

2. Anular fatores.

   Cancelamento dá-lhe esta expressão:

   

   O (X - 13) termos cancelar, deixando-o com este resultado:

   

3. Calcular os limites.

   Quando você conecta 13 para a função, você recebe 1/6, que é o limite.

Encontrar o limite por encontrar o menor denominador comum

Quando você está dado uma função racional complexo, você usa a quarta e última técnica de encontrar limite algébrica. A técnica de entupimento falhar, porque você acaba com um 0 em um dos denominadores. A função não é factorável, e você não tem raízes quadradas de racionalização. Portanto, você sabe para passar para a última técnica. Com este método, você combinar as funções por encontrar o denominador comum mínimo (LCD). Os termos cancelar, em que ponto você pode encontrar o limite.

Por exemplo, siga os passos para encontrar o limite:

1. Encontre o LCD das frações no topo.

   

2. Distribua os numeradores no topo.

   

3. Adicionar ou subtrair os numeradores e, em seguida, cancelar termos.

   Subtraindo os numeradores dá-lhe

   

   que, em seguida, para simplifica

   

4. Use as regras para as frações para simplificar ainda mais.

   

5. Substituir o valor limite para esta função e simplificar.

   Video: Me Salva! LIM11 - Limites de funções racionais no infinito - caso 1

   Você quer encontrar o limite como X se aproxima de 0, então o limite aqui é -1/36.