Compreender o intervalo de convergência

Ao contrário da série geométrica e p

-série, uma série de potência frequentemente converge ou diverge com base na sua X valor. Isto leva a um novo conceito quando se lida com séries de potência: o intervalo de convergência.

o intervalo de convergência para uma série de potência é o conjunto de X Os valores para os quais essa série converge.

O intervalo de convergência nunca está vazia

Cada série de potências converge para algum valor de X. Ou seja, o intervalo de convergência para uma série de potência nunca é o conjunto vazio.

Embora este fato tem implicações úteis, é realmente muito bonito um acéfalo. Por exemplo, dê uma olhada no seguinte série de potência:

Video: Grings - Série Intervalo de convergência aula 10

Quando X = 0, esta série é avaliado como 1 + 0 + 0 + 0 + ..., por isso, obviamente, converge para 1. Da mesma forma, dar uma olhada neste série de potência:

Desta vez, quando X = -5, a série converge para 0, assim como trivialmente como o último exemplo.

Note-se que em ambos os exemplos, a série converge em trivialmente X = uma para uma série de potências centrada em uma.

Três possibilidades para o intervalo de convergência

Existem três possibilidades para o intervalo de convergência de qualquer série de potência:

• A série converge apenas quando X = uma.

• A série converge em algum intervalo (aberto ou fechado em ambas as extremidades) centrado no uma.

• A série converge para todos os valores reais de X.

Por exemplo, suponha que você deseja encontrar o intervalo de convergência para:

Esta série de energia é centrada em 0, de modo que ela convirja quando X = 0. Usando o teste da razão, você pode descobrir se ele converge para quaisquer outros valores de X. Para começar, configure o seguinte limite:

Para avaliar esse limite, a começar por cancelamento Xⁿ no numerador e denominador:

Em seguida, distribuir para remover os parênteses no numerador:

Tal como está, esse limite é da forma

assim aplicar a regra de L`Hopital, diferenciando sobre a variável n:

A partir deste resultado, o teste da razão lhe diz que a série:

• Converge quando -1 lt; X lt; 1

• diverge quando X lt; -1 e X gt; 1

• Podem convergir ou divergir quando X = 1 e X = -1

Felizmente, é fácil ver o que acontece nesses dois casos restantes. Aqui está o que a série parece quando X = 1:

Claramente, a série diverge. Da mesma forma, aqui está o que parece que quando X = -1:

Esta série alternada oscila descontroladamente entre valores positivos e negativos, por isso também diverge.

Como exemplo final, suponha que você deseja encontrar o intervalo de convergência para a série seguinte:

Esta série é centrado a 0, de modo que ela convirja quando X = 0. A verdadeira questão é se ele converge para outros valores de X. Porque esta é uma série alternada, você aplica o teste da razão para a versão positiva do mesmo para ver se você pode mostrar que é absolutamente convergente:

Primeiro, você quer simplificar isso um pouco:

Em seguida, você expandir os expoentes e fatoriais:

Video: Radio e intervalo de convergencia de series de potencias

Neste ponto, um monte de cancelamento é possível:

Desta vez, o limite cai entre -1 e 1 para todos os valores de X. Este resultado indica que a série converge absolutamente para todos os valores de X, por isso a série alternada também converge para todos os valores de X.