Determinar se uma série de taylor é convergente ou divergente

Porque a série de Taylor é uma forma de série de potência, cada série de Taylor também tem um intervalo de convergência. Quando esse intervalo é de todo o conjunto dos números reais, você pode usar a série para encontrar o valor de f

Video: 15. Teste da Comparação. | Cálculo II

No entanto, quando o intervalo de convergência para uma série de Taylor é limitada - isto é, quando se diverge para alguns valores de X - você pode usá-lo para encontrar o valor de f(X) só em seu intervalo de convergência.

Por exemplo, aqui estão os três importante série de Taylor:

Todos os três destas séries convergem para todos os valores reais de X, de modo que cada é igual ao valor da respectiva função.

Agora, considere a seguinte função:

Você precisa de expressar essa função como uma série Maclaurin, que assume esta forma:

Video: Como saber fácilmente si una serie converge: Prueba de la Comparación

a notação f⁽ⁿ⁾ significa “ nth derivado de f.”Isto torna-se mais claro na versão expandida da série Maclaurin:

Video: 03. Integral Imprópria - Teste da Comparação. | Cálculo II

Para fazer isso, siga estes passos:

1. Encontre os primeiros derivados de

   

2. 
   
   
   

   até que você reconhecer um padrão:

   

3. Substituto 0 para X em cada um destes derivados:

   

4. Ligar estes valores, termo pelo termo, na fórmula para a série de Maclaurin:

   

5. Se possível, expressar a série em notação sigma:

   

   Para testar essa fórmula, você pode usá-lo para encontrar f(X) quando

   

Você pode testar a precisão desta expressão, substituindo

Como você pode ver, a fórmula produz a resposta correta. Agora tente usá-lo para encontrar f(X) quando X = 5, notando que a resposta correta deve ser

O que aconteceu? Esta série converge apenas no intervalo (-1, 1), de modo que a fórmula produz apenas o valor f(X) quando X É neste intervalo. Quando X está fora deste intervalo, a série diverge, então a fórmula é inválido.