Como integrar poderes ímpares de senos e cossenos

Você pode integrar qualquer

função do pecado formulário^m X cosⁿ X quando m é estranho, para qualquer valor real n. Para este procedimento, tenha em mente a identidade sin útil trig² X + cos² X = 1. Por exemplo, aqui está como você integrar

1. Descolar um pecado X e colocá-lo ao lado do dx:

   

2. Aplique o pecado identidade trig² X = 1 - cos² X para expressar o resto dos senos na função de co-senos:

   

3. Use a substituição de variáveis você = cos X e du = -sin x dx:

   

Agora que você tem a função em termos de poderes de você, o pior já passou. Você pode expandir a função para fora, transformando-o em um polinômio. Este é apenas álgebra:

Video: INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 3

Para continuar, use a regra da soma e Regra múltiplo constante para separar isso em quatro integrais. Não se esqueça de distribuir o sinal de menos para todos os quatro integrais!

Neste ponto, você pode avaliar cada integrante separadamente usando a Regra de energia:

Finalmente, use você = cos X para inverter a substituição variável:

Video: 05-Potências ímpares de seno e cosseno-Resolução de integrais para iniciantes

Observe que quando você substituir trás em termos de x, o poder vai ao lado dos cos em vez de ao lado do x, porque você está levantando todo o cos de função X a uma potência.

Da mesma forma, a integrar qualquer função do pecado formulário^m X cosⁿ X quando n é estranho, para qualquer valor real m. Estes passos são praticamente os mesmos que no exemplo anterior. Por exemplo, aqui está como você integrar o pecado^-4 X cos⁹ X:

1. Descole a cos X e colocá-lo ao lado do dx:

   

2. Aplicar as cos identidade trig² X = 1 - sin² X para expressar o resto dos cossenos na função de Sines:

   

3. Use a substituição de variáveis você = sin X e du = cos x dx:

   

Neste ponto, você pode distribuir a função e expressá-lo como uma soma de poderes de você.