Como para dissociar as partículas diferentes em equações linearmente independentes

Na física quântica, pode desconectar sistemas de partículas que você pode distinguir - isto é, sistemas de identifiably diferentes partículas - em equações linearmente independentes. Para ilustrar isso, suponha que você tenha um sistema de muitos tipos diferentes de carros flutuando no espaço. Você pode distinguir todos esses carros, porque eles são todos diferentes - eles têm massas diferentes, para uma coisa.

Agora dizer que cada carro interage com seu próprio potencial - ou seja, o potencial que qualquer um carro vê não depende de qualquer outro carro. Isso significa que o potencial de todos os carros é apenas a soma das potencialidades individuais cada carro vê, o que se parece com isso, supondo que você tem carros N:

Ser capaz de cortar a energia potencial se em uma soma de termos independentes como este torna a vida muito mais fácil. Aqui está o que o hamiltoniano se parece com:

Video: Grings - Álgebra Linear - Dependência Linear - Aula 15

Observe como muito mais simples desta equação é que este Hamiltoniano para o átomo de hidrogênio:

Note que você pode separar a equação anterior para o potencial de todos os carros em n equações diferentes:

E a energia total é a soma das energias dos carros individuais:

Video: O Wronskiano de uma EDO linear de ordem 2

E a função de onda é apenas o produto das funções de onda individuais:

exceto que ele representa um produto de termos, não uma soma, e n_Eu refere-se a todos os números do quantum Euth partícula.

Como você pode ver, quando as partículas que você está trabalhando com são distinguíveis e sujeito a potenciais independentes, o problema de lidar com muitos deles se torna mais simples. Pode quebrar-se o sistema em sistemas independentes uma partícula-N. A energia total é apenas a soma das energias individuais de cada partícula. A equação de Schrödinger decompõe-se em N equações diferentes. E a função de onda termina-se apenas a ser o produto das funções de onda das diferentes partículas N.

Dê uma olhada em um exemplo. Digamos que você tenha quatro partículas, cada um com uma massa diferente, em uma praça bem. Você quer encontrar a energia ea função de onda deste sistema. Aqui está o que o potencial do poço quadrado parece com isso para cada um dos quatro partículas não interagentes:

Aqui está o que a equação de Schrödinger se parece com:

Video: EDO-010 Independência Linear de Soluções e Teorema da Superposição para Equações não Homogêneas

É possível separar a equação anterior em quatro equações um de partículas:

Os níveis de energia são

E porque a energia total é a soma das energias individuais é

a energia em geral é

Então aqui está a energia do estado fundamental - onde todas as partículas estão em seus estados fundamentais, n₁ = n₂ = n₃ = n₄ = 1:

Para um sistema unidimensional com uma partícula em um poço quadrado, a função de onda é

Video: Vetores Linearmente Independentes - Polinómios

A função de onda para o sistema de quatro partículas é apenas o produto das funções de onda individuais, por isso parece com isso:

Por exemplo, para o estado fundamental, n₁ = n₂ = n₃ = n₄ = 1, você tem

Então, como você pode ver, os sistemas de n partículas independentes, distinguíveis são frequentemente suscetíveis a solução - tudo que você tem a fazer é dividi-las em N equações independentes.