Como derivar a equação de schrödinger

Em física quântica, a técnica de Schrodinger, que envolve mecânica de ondas, utiliza funções de onda, principalmente na base posição, para reduzir perguntas em física quântica para uma equação diferencial.

Video: Equação de Schrödinger

Werner Heisenberg desenvolveram a visão orientada a matriz da física quântica, às vezes chamado de mecânica matricial. A representação matricial é bom para muitos problemas, mas às vezes você tem que ir passado, como você está prestes a ver.

Um dos problemas centrais da mecânica quântica é calcular os níveis de energia de um sistema. O operador de energia é chamado o Hamiltoniano, H, e encontrar os níveis de energia de um sistema de quebra de encontrar os valores próprios do problema:

Aqui, E é um valor próprio do operador H.

Video: Uma derivação da equação de Schrödinger - Parte 1

Aqui é a mesma equação em termos de matriz:

Os níveis de energia permitidas do sistema físico são os valores próprios E, que satisfazer esta equação. Estes podem ser encontrados através da resolução de um polinómio característico, que deriva da configuração da determinante da matriz acima de zero, como assim

Isso é bom se você tem uma base discreto de eigenvectors - se o número de estados de energia é finito. Mas e se o número de estados de energia é infinito? Nesse caso, você não pode mais usar uma base discreta para seus operadores e sutiãs e kets - você usa um contínuo base.

Representando mecânica quântica numa base contínua é uma invenção do físico Erwin Schrödinger. Na base contínua, somatórios tornar integrais. Por exemplo, ter a seguinte relação, onde I é a matriz identidade:

Torna-se o seguinte:

E cada ket

pode ser expandida em uma base de outras kets,

como isso:

Dê uma olhada em que o operador posição, R, em uma base contínua. Aplicando este operador dá-lhe r, o vector de posição de:

Nesta equação, a aplicação do operador posição para um vetor de estado retorna os locais, r, uma partícula que pode ser encontrado em. Você pode expandir qualquer ket na base de posição como esta:

E isso se torna

Aqui está uma coisa muito importante para compreender:

Video: Uma derivação da equação de Schrödinger - Parte 2

é o onda função para o vector de estado

- é a representação da ket na base de posição.

Ou em termos comuns, é apenas uma função onde a quantidade

representa a probabilidade de que a partícula irá ser encontrado na região d³r centrado em r.

A função de onda é a base do que é chamado mecânica de onda, em oposição a matriz mecânica. O que é importante perceber é que quando você fala sobre representando sistemas físicos em mecânica de ondas, você não usar os sutiãs e kets de matriz-base-less mechanics em vez disso, você costuma usar a função de onda - isto é, sutiãs e kets no base posição.

Portanto, você vai de falar

Esta função de onda é apenas um Ket na posição base. Então, na mecânica de ondas,

torna-se o seguinte:

Você pode escrever isso como o seguinte:

Mas o que é

É igual a

Video: [Física Moderna] Capitulo 7: Mecânica Quântica em 1 Dimensão

O operador Hamiltoniano, H, é a energia total do sistema, cinética (p²/ 2m) Mais potencial (V (r)) De modo a obter a seguinte equação:

Mas o operador momento é

Portanto, substituindo o operador impulso para p dá-lhe isto:

Usando o operador Laplaciano, você recebe esta equação:

Você pode reescrever essa equação como a seguinte (o chamado equação de Schrödinger):

Então, na visão mecânica ondulatória da física quântica, você está trabalhando agora com uma equação diferencial em vez de múltiplas matrizes de elementos. Isso tudo veio trabalhar na base de posição,

Quando você resolver a equação de Schrödinger para

você pode encontrar os estados de energia permitidos para um sistema físico, bem como a probabilidade de que o sistema será em um determinado estado posição.

Note-se que, além de funções de onda na base de posição, você também pode dar uma função de onda na base de impulso,

ou em qualquer número de outras bases.